Уравнения изогиры для центрированных и симметричных сечений кристаллов, equations of the isogyre for centered and symmetrical section of cristals

(!)УРАВНЕНИЯ ИЗОГИРЫ ДЛЯ ЦЕНТРИРОВАННЫХ И СИММЕТРИЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ОДНООСНЫХ И ДВУОСНЫХ КРИСТАЛЛОВ
THE EQUATIONS OF THE ISOGYRE FOR CENTERED AND SYMMETRICAL SECTIONS OF UNIAXIAL AND BIAXIAL CRISTALS
1. Общие сведения.
2. Уравнения изогиры для одноосных кристаллов.
2.1. Центрированные сечения.
2.1.1. Сечение, перпендикулярное к оптической оси.
2.1.2. Сечения, параллельные оптической оси.
2.2. Симметричные сечения.
3. Уравнения изогиры для двуосных кристаллов.
3.1. Центрированные сечения.
3.1.1. Сечения, перпендикулярные к острой или тупой биссектрисе угла оптических осей.
3.1.2. Сечение, перпендикулярное к оси N_m.
3.2. Симметричные сечения.
3.2.1. Сечения, перпендикулярные к плоскости оптических осей.
3.2.2. Сечения, перпендикулярные к плоскостям симметрии N_m(ОБ), N_m(ТБ).
3.2.3. Особый случай: сечения, перпендикулярные к оптической оси двуосного кристалла.
4. Вопросы терминологии.
5. Заключение.

1. Общие сведения.

Оптическая индикатриса двуосных кристаллов имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии: 1) плоскость оптических осей, проходящую через оптические оси A₁, A₂ и острую (ОБ) и тупую (ТБ) биссектрисы, 2) плоскость N_gN_m и 3) плоскость N_pN_m (рис. 1). На пересечениях плоскостей симметрии находятся оси оптической индикатрисы N_g, N_m и N_p. Оси N_g и N_p являются биссектрисами острого или тупого угла оптических осей.

Рис. 1. Плоскости симметрии оптической индикатрисы двуосного положительного кристалла (стереографическая проекция).

В зависимости от ориентировки плоскости разреза кристалла относительно элементов симметрии оптической индикатрисы выделены следующие группы сечений:
1) центрированные сечения,
2) симметричные сечения,
3) косые сечения.
К центрированным сечениям относятся разрезы кристаллов, в которых оси оптической индикатрисы N_g, N_m и N_p перпендикулярны к плоскости шлифа. В таких сечениях изогира образует центрально-симметричные фигуры с центром симметрии, совпадающим с окулярным перекрестием. К ним относятся фигуры прямого креста, в двуосных кристаллах распадающегося при вращении столика на две ветви, все точки которых имеют центр инверсии - каждой точке на одной ветви соответствует такая же точка на второй ветви, находящаяся на том же расстоянии от центра, но в противоположном направлении.
В симметричных сечениях изогира в позиции погасания кристалла совмещается с нитью окулярного креста, которая делит ее точно посредине на две зеркально симметричные части.
К косым сечения относятся все остальные разрезы кристаллов, плоскости которых образуют с плоскостями симметрии углы, не равные 90°. В этих сечениях изогира в позиции погасания кристалла, образует фигуры, не совпадающие с нитями окулярного креста и пересекающие их под некоторым углом. В настоящей статье они не рассматриваются.
Уравнение изогиры изогиры выведено для косых сечений кристаллов, ориентированных под острым (или тупым) углом к плоскостям симметрии оптической индикатрисы. Это уравнение пригодно также и для центрированных и симметричных сечений, но для них оно излишне сложное и может быть упрощено.
Прежде чем приступить к обсуждению темы статьи, сделаем некоторые замечания по поводу используемых терминов. Уравнения, рассматриваемые в статье, относятся к "нулевой" изогире, представляющей собой линию, все точки которой теоретически имеют нулевую интенсивность белого света. Ее можно считать в качестве каркаса, на котором "крепится" настоящая изогира. Форму изогиры и ее поведение при вращении столика можно определить, изучая "нулевую" изогиру.
Уравнение изогиры, описывающее связь между координатами точек изогиры и оптических осей, имеет следующий вид:
bx³ + ay³ - ax²y - bxy² - cx² - cy² + 2(d - 2)xy + 2bx + 2ay - 2c = 0, (1) где x, y - координаты точек изогиры на гномонической проекции,
a = a₁ + a₂ - сумма абсцисс оптических осей A₁ и A₂,
b = b₁ + b₂ - сумма ординат оптических осей A₁ и A₂,
c = a₁b₂ + a₂b₁ - сумма смешанных (перекрестных) произведений абсцисс и ординат оптических осей,
d = a₁a₂ + b₁b₂ - сумма парных произведений абсцисс и ординат оптических осей.
Это уравнение описывает изогиру в качестве кривой третьего порядка.
Форма изогиры зависит не только от сечения кристалла, но и от позиции оптических осей. Под стандартной позицией понимается такое положение оптических осей, при котором световые колебания в кристалле совпадают с направлением световых колебаний в одном из николей. В этой позиции кристалл в параллельном свете в скрещенных николях погашен, а в коноскопе изогира проходит через центр поля зрения. Из 4-х положений погасания кристалла, наблюдаемых при полном повороте столика, в центрированных сечениях за стандартную позицию принимается положение оптических осей, при котором они находятся на оси Y (рис. 3а). К сечениям, перпендикулярным к плоскости оптических осей, предъявляется дополнительное условие - ближняя оптическая ось должна находиться на положительной полуоси Y (рис. 3в). В сечениях, перпендикулярных к плоскостям симметрии N_m(ОБ) и N_m(ТБ) оптические оси расположены в 1 и 2 квадратных, так чтобы биссектриса угла A₁OA₂ совпадала с осью Y (рис. 3д). Для одноосных кристаллов за стандартную позицию принимается положение столика, при котором оптическая ось находится на положительной полуоси Y (рис. 2б).

2. Уравнения изогиры для одноосных кристаллов.

Оптическая индикатриса одноосного кристалла представляет собой вытянутый или сжатый эллипсоид вращения с бесконечным количеством осей N_m и перпендикулярных к ним плоскостей симметрии. В любом сечении одноосного кристалла присутствует плоскость симметрии, перпендикулярная к плоскости шлифа. Следовательно, все сечения одноосного кристалла являются симметричными. Они могут быть косыми только относительно оптической оси кристалла. Доказательством симметричности сечений является совпадение изогиры с нитью окулярного креста при ее совмещении с окулярным перекрестием. Если из этой позиции повернуть столик на один и тот же угол вправо и влево, то наблюдаемые изогиры будут зеркально-симметричными относительно нити окулярного креста.
Одноосный кристалл можно рассматривать как двуосный кристалл с 2V = 0°, у которого оптические оси совпадают и, следовательно, имеют равные гномонические координаты: a₁ = a₂, b₁ = b₂. С учетом этих равенств параметры уравнения (1) будут иметь следующий вид:
a = 2a₁, b = 2b₁, c = 2a₁b₁, d = a₁² + b₁². Подставив эти значения параметров в (1), получим следующее общее уравнение изогиры для одноосных кристаллов:
b₁x³ + a₁ y³ - a₁x²y - b₁xy² - a₁b₁x² - a₁b₁ y² + (a₁² + b₁² - 2)xy + 2b₁x + 2a₁ y - 2a₁b₁ = 0 (2)

2.1. Центрированные сечения

К центрированным сечениям одноосного кристалла относятся сечение, перпендикулярное оптической оси (единичное направление) и многочисленные сечения, параллельные оптической оси.

2.1.1. Сечение, перпендикулярное к оптической оси.

Рис. 2. "Нулевые" изогиры одноосного кристалла.
a - сечение, перпендикулярное к оптической оси; б - сечение с косоориентированной оптической осью, находящейся на оси Y (стандартная позиция оптической оси); в - то же, что и б, оптическая ось на оси X; сечение с косоориентированной оптической осью после поворота столика на угол α (нестандартная позиция оптической оси). д, е - компьютерное воспроизведение изогиры на полной ортогональной проекции: д - косоориентированная оптическая ось находится на оси Y, то же,что и д, после поворота столика на 2°. A - оптическая ось; OX, OY - оси координат; b₁ - ордината оптической оси; a₁' и b₁' - координаты оптической оси после поворота столика на угол α.

Сечение, перпендикулярное оптической оси одноосных кристаллов, легко обнаружить в скрещенных николях по темной интерференционной окраске, сохраняющейся при вращении столика. Оптическая ось A расположена в центре поля зрения. Ее координаты имеют нулевое значение. Подставив в (2) a₁ = 0 и b₁ = 0, получим
xy = 0. (3) Несмотря на то, что это простое выражение состоит лишь из одного члена, оно является уравнением 2-й степени.
xy = 0 справедливо при условии, что каждый из множителей равен нулю: x = 0 и y = 0. Этому условию отвечают оси координат. Следовательно, изогира в сечении, перпендикулярном к оптической оси одноосного кристалла имеет вид прямого креста, совпадающего с осями координат (нитями окулярного креста) (рис.2а). При вращении столика крест неподвижен, поскольку координаты оптической оси при этом не меняются.

2.1.2. Сечения параллельные оптической оси.

Эти сечения легко обнаруживаются по максимальной интерференционной окраске в скрещенных николях. В них оптическая ось лежит в плоскости шлифа, а круговое сечение оптической индикатрисы перпендикулярно к ней. В одноосном кристалле мы имеем бесконечное множество плоскостей симметрии и перпендикулярных к ним осей индикатрисы.
Вывод уравнения изогиры для рассматриваемого сечения осложняется тем обстоятельством, что полярный угол оптической оси равен 90°. Гномонические координаты определяются через тангенс полярного угла, равного в данном случае бесконечности. Бесконечность не является конкретным числом, и ввести его в общее уравнение одноосного кристалла (2) невозможно. Но есть простой выход - считать, что в рассматриваемом сечении мы имеем дело с двуосным кристаллом с острым углом 2V = 0° и тупым углом 2V = 180°. Следовательно, такое сечение одноосного кристалла может быть отнесено к центрированному сечению двуосного кристалла, и для него пригодно уравнение изогиры (7).
В стандартной позиции "нулевая" изогира имеет вид креста. В отличие от изогиры в сечении, перпендикулярном к оптической оси, крест очень широкий и центральная часть креста занимает почти все поле зрения коноскопа. Уже при небольших углах поворота крест распадается на две ветви, быстро достигающих край поля зрения. С объективом 60^x "нулевая" изогира уходит из поля зрения при повороте столика на 4°, а полное просветление зерна наступает при угле поворота столика 10°.
Практическое значение рассматриваемого сечения незначительное. В нем можно определить оптический знак кристалла. Отличить одноосный кристалл от двуосного кристалла в сечении ⊥N_m не всегда возможно (подробнее см. раздел 3.1.2).

2.2. Симметричные сечения.

Стандартная позиция оптической оси. Наклоним оптическую ось из центра (рис. 2а) на угол ρ_A так, чтобы она заняла новую позицию A на оси Y (рис. 2б). Ее гномонические координаты будут равны:
a₁ = 0, b₁ = tg ρ_A.
Делаем подстановку a₁ = 0 в уравнение (2). Получим следующее уравнение изогиры в позиции, когда оптическая ось находится на оси Y:
b₁x³ - b₁xy² + (b₁² - 2)xy + 2b₁x = 0. Выносим x за скобки:
x [b₁x² - b₁ y² + (b₁² - 2) y + 2b₁] = 0. Произведение двух множителей равно нулю, когда они имеют нулевое значение. Следовательно, уравнение изогиры может быть записано двумя выражениями:
x = 0, b₁x² - b₁ y² + (b₁² - 2) y + 2b₁ = 0. (4) Первое выражение представляет собой уравнение оси Y. Оно относится к вертикальной прямой балке креста (рис. 2б). Второе выражение является уравнением гиперболы. Оно описывает кривую горизонтальную составляющую креста.
Корни этого квадратного уравнения равны:

(5)

По этой формуле можно рассчитывать координаты точек для графического построения изогиры.
Знак ± указывает на присутствие второй ветви изогиры. На рис.2б она не показана, так как находится за пределами поля зрения.
Любопытную картину можно увидеть, если воспроизвести с помощью программы "нулевую" изогиру на полной ортогональной проекции. В стандартной позиции оптических осей мы увидим двойной крест (рис. 2д). При вращении столика один крест остается целым, а второй распадается на две ветви (рис. 2е). Читатель в этом может убедиться сам, если введет в программу угловой радиус поля зрения 90° и сферические координаты оптической оси R₁ = R₂ = 60° (можно задать и другие значения), L₁ = L₂ = 90°.
В позиции "оптическая ось находится на оси X " изогира для рассматриваемой позиции представляет собой тот же крест, что на рис. 2б, но повернутый на 90° (рис. 2в).
Таким образом, изогира в позиции "оптическая ось одноосного кристалла находится на оси координат" представляет собой прямой крест (имеется ввиду прямой угол между балками креста), образованный сочетанием прямой линии и гиперболы.
Нестандартная позиция оптической оси. Повернем столик микроскопа на угол α. Оптическая ось окажется в 1 квадранте. Ее новые координаты будут равны: a' = b₁ sin α, b' = b₁ cos α (рис. 2г).
Для этой позиции связь координат оптических осей и точек изогиры выражена общим уравнением (2) после подстановки в него указанных выше значений a' и b'. Изогира представляет собой косой крест, образованный двумя криволинейными балками, пересекающимися под острым углом.
Выведем формулу для расчета угла наклона оптической оси одноосного кристалла. Для этого найдем координаты точки M пересечения изогиры с осью X. Подставив в уравнение (2) y = 0, a = a' и сократив на b₁, получим следующее уравнение:
x³ - a'₁x² + 2x - 2a'₁ = 0. Используя правило деления многочлена на двучлен, разлагаем левую часть уравнения на два множителя:
(x² + 2) (x - a'₁) = 0. Из первого множителя, приравняв его к нулю, получено уравнение, не имеющее действительных корней. Второй множитель указывает на равенство абсцисс оптической оси и точки M пересечения изогиры с осью X:
a'₁ = x. Из этого равенства следует, что абсциссы оптической оси одноосного кристалла и точки пересечения вертикальной балкой креста координатной оси X совпадают.
Аналогичным способом можно доказать равенство ординат оптической оси и точки пересечения горизонтальной балкой креста оси Y.
Учитывая, что абсцисса a₁, после поворота столика на угол α, как было показано ранее, равна b₁ sin α, запишем: x_M = b₁ sin α, откуда находим

(6)

Эта формула используется для коноскопического определения ориентировки оптической оси в микроструктурном анализе (см. Дополнение к статье "Микроструктурный анализ…".)
Примечание. Для микроструктурного анализа требуется определение угла φ, образуемого оптической осью с плоскостью шлифа. Угол φ является дополнительным к углу ρ_M (φ + ρ_M = 90°), вследствие чего формула для расчета tg φ такая же, что и (6), но числитель и знаменатель нужно поменять местами.

3. Уравнения изогиры для двуосных кристаллов.

Индикатриса двуосных кристаллов имеет три плоскости симметрии и три оси. По ориентировке относительно них выделены центрированные и симметричные сечения.

3.1. Центрированные сечения.

К центрированным сечениям отнесены разрезы кристаллов, перпендикулярные к острой или тупой биссектрисе (оси N_g и N_p) и осиN_m индикатрисы.

3.1.1. Сечения, перпендикулярные к острой или тупой биссектрисе угла оптических осей.

Стандартная позиция. Оптические оси находятся на координатной оси Y. В такой позиции кристалл погашен в скрещенных николях. Оптические оси равноудалены от центра поля зрения. Их абсциссы имеют нулевое значение: a₁ = 0, a₂ = 0. Ординаты оптических осей одинаковы по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки: b₂ = -b₁.
Параметры уравнения изогиры равны: a = 0, b = 0, c = 0, d = -b₁². После подстановки этих параметров в уравнение (1) получено такое же уравнение, как и для одноосного кристалла в сечении, перпендикулярном к оптической оси:
xy = 0. Этому уравнению соответствует изогира в виде прямого креста, совпадающего с осями координат (рис. 3а).

Нестандартная позиция. После поворота столика на угол ω крест распадается на две симметричные относительно центра ветви (рис. 3г). Гномонические координаты оптических осей будут равны по абсолютной величине, но иметь противоположные знаки: a₂ = -a₁, b₂ = -b₁. Параметры уравнения изогиры окажутся равными: a = 0, b = 0, c = -2a₁b₁, d = -a₁²b₁². После подстановки параметров в (1) и преобразований получено следующее уравнение гиперболы:

(7)

корни которого:

(8)

могут быть использованы для расчета координат точек изогиры.
Рассматриваемое уравнение изогиры использовано для вывода формулы,

tgV =

(9)

по которой производился расчет данных для построения диаграммы 2V-ω, предназначенную для определения угла оптических осей по углу поворота столика ω от стандартной позиции до совмещения изогиры с меткой M₁.
В этой формуле
V - половина угла оптических осей;
R = tg ρ_k - гномонический радиус поля зрения коноскопа, равный тангенсу углового радиуса ρ_k поля зрения.

Рис. 3. "Нулевые" изогиры в центрированных и симметричных сечениях двуосных кристаллов (гномоническая проекция). Сечения оптической индикатрисы: а, б - перпендикулярные к биссектрисе угла оптических осей; в, г - перпендикулярные к плоскости оптических осей; д, е - перпендикулярные к плоскости N_m(ОБ) или N_m(ТБ); ж, з - перпендикулярные к оптической оси. а, в, д, ж - стандартная позиция оптических осей; б, г, е, з - нестандартная позиция оптических осей. A₁, A₂ - оптические оси; OX, OY - оси координат.

3.1.2. Сечение, перпендикулярное к оси N_m оптической индикатрисы.

Эти сечения легко выявляется по максимальной интерференционной окраске. В них плоскость оптических осей и лежащие в ней оптические оси параллельны плоскости сечения. Вывод уравнения изогиры для них затрудняется по той же причине, что и для одноосного кристалла в сечении, параллельном оптической оси - из-за невозможности ввода в уравнение бесконечно больших значений параметров. Но эта проблема легко решается за счет использования уравнения (12) изогиры для сечений ⊥N_m(ОБ), ⊥N_m(ТБ) (см. раздел 3.2.2. и рис. 3д,е). При расчете параметров уравнения следует вводить очень большие, но конечные значения гномонических координат.
Изогира рассматриваемого сечения очень близка к изогире одноосного кристалла в сечении, параллельном оптической оси, - широкий крест, занимающий все или почти все поле зрения. Небольшие отличия все же имеются - угол поворота столика ω, при котором происходит полное просветление поля зрения меньше, чем у одноосных кристаллов, что видно из следующих данных:

2V	0°	30°	60°	90°
ω	10,5°	10°	8,5°	6,5°

Примечание. Определение ω произведено путем непосредственного наблюдения за уходом из поля зрения изогиры, полученной по программе "Компьютерное воспроизведение изогиры". При этом было принято: угловой радиус поля зрения коноскопа ρ_k = 30°, граничная интенсивность белого света I_gr = 0.05.
Из приведенных данных видно, что сечения ⊥N_m двуосного кристалла заметно отличаются по углу полного просветления поля зрения от одноосных кристаллов лишь при больших 2V.
Возможности практического использования рассматриваемого сечения невелики. В них можно определить оптический знак кристалла и, не всегда уверенно, отличить двуосный кристалл от одноосного кристалла.

3.2. Симметричные сечения.

К симметричным сечениям отнесены разрезы кристаллов, перпендикулярные к плоскостям симметрии оптической индикатрисы: плоскости оптических осей N_gN_p, N_gN_m, N_pN_m.

3.2.1. Сечения, перпендикулярные к плоскости оптических осей.

Стандартная позиция. В этой позиции оптические оси, располагаясь на координатной оси Y, удалены от центра на разное расстояние (рис. 3в). Следует иметь ввиду, что оптическая ось A₂ может располагаться выше оси A₁. В таком случае обе оси имеют положительное значение ординаты.
Абсциссы оптических осей в рассматриваемой позиции равны: a₁ = 0, a₂ = 0; ордината оси A₂ по абсолютному значению больше ординаты оси A₁: |b₂| > b₁.
Параметры уравнения изогиры равны: a = 0, b = b₁ + b₂, c = 0, d = b₁b₂.
Делаем подстановку a = 0 и c = 0 в общее уравнение изогиры (1). Уравнение изогиры после выноса за скобки x имеет следующий вид:
x(bx² - by² + 2(d-2)y + 2b) = 0. Это произведение справедливо при условии, что множители равны нулю:
x = 0,
bx² - by² + 2(d-2)y + 2b = 0.
x = 0 - это уравнение координатной оси Y. Второе выражение представляет собой уравнение гиперболы.
Таким образом, изогира в стандартной позиции симметричного сечения двуосного кристалла выглядит как прямой крест, состоящий из прямой и криволинейной балок.
Произведем замену b и d их значениями b = b₁ + b₂, d = b₁b₂. После преобразования получим следующее квадратное уравнение:

(10)

корни которого могут быть определены по следующей формуле:

(11)

Эта формула предназначена для расчета данных, необходимых для графического построения изогиры.
Обращает на себя внимание знак ± перед радикалом. Он указывает на то, что уравнение имеет два корня и, следовательно, гипербола состоит из двух ветвей. Вторая ветвь на рис. 3 не показана, так как она находится за пределами принятого радиуса поля зрения коноскопа (ρ_k = 30°). Если в формулу ввести x = 0, то мы получим ординаты центров двух крестов. На полной проекции можно видеть, что изогира в рассматриваемой позиции выглядит как двойной крест (см. рис. 4б в статье "Уравнение изогиры…").
Нестандартная позиция. После поворота столика на угол ω новые координаты оптических осей и параметры уравнения будут равны (рис. 3г):
a₁' = b₁ sin ω, b₁' = b₁ cos ω, a₂' = b₂ sin ω, b₂' = b₂ cos ω.
a = a₁' + a₂' = (b₁ + b₂) sin ω, b = b₁' + b₂' = (b₁ + b₂) cos ω,
c = a₁'b₂' + a₂'b₁' = b₁b₂ sin 2ω, d = a₁'a₂' + b₁'b₂' = 2b₁b₂.
После подстановки параметров a, b, c и d в (1) будет получено уравнение третьей степени для сечения, перпендикулярного к плоскости оптических осей. Оно может быть преобразовано в кубическое уравнение, для которого имеется решение по формуле Кардано. Это решение, необходимое для расчета гномонических координат оптических осей, сравнительно сложное и его следует производить с помощью компьютера по специальной программе (файл coorisog.exe), для которой имеется руководство.
Определение угла оптических осей в рассматриваемом сечении возможно по методу "засечек" с использованием компьютера. Кроме того, для этой цели можно использовать графики 2V-ω₁-ω_x (см. статью "Диаграммы для определения в коноскопе угла оптических осей …").

3.2.2. Сечения, перпендикулярные к плоскостям симметрии N_m(ОБ), N_m(ТБ).

Стандартная позиция оптических осей. В стандартной позиции оптические оси в сечениях, перпендикулярных к плоскости N_m(ОБ) или N_m(ТБ), оптические оси расположены симметрично относительно осей координат, на равном расстоянии от них (рис. 3д). Как видно на рисунке, гномонические координаты оптических осей связаны следующими соотношениями: a₂ = -a₁; b₁ = b₂.
Параметры уравнения изогиры равны: a = a₁ + a₂ = 0; b = b₁ + b₂ = 2b₁; c = a₁b₂ + a₂b₁ = 0; d = a₁a₂ + b₁b₂ = b₁² - a₁².
После подстановки этих параметров в общее уравнение (1) и выноса за скобки x получено следующее произведение двух множителей:
x [b₁x² - b₁y² + (b₁² - a₁² - 2)y + 2b₁] = 0, Приравняв множители к нулю, получим 2 уравнения:
x = 0,
b₁x² - b₁y² + (b₁² - a₁² - 2)y + 2b₁ = 0.
Первое уравнение - это уравнение оси ординат. Изогира совпадает с этой осью, т. е. является прямой линией. Второе уравнение является гиперболой. После преобразование оно приобрело следующий вид:

(12)

Координаты точек изогиры могут быть рассчитаны по следующей формуле:

(13)

Знак ± в этой формуле указывает на присутствие второй ветви изогиры.
Таким образом, изогира в стандартной позиции оптических осей в рассматриваемом сечении представляет собой прямой крест, состоящий из прямолинейной и криволинейной балок.
Нестандартная позиция. После поворота столика на угол ω новые координаты оптических осей будут равны (рис. 3е):
a₁' = a₁ cos ω + b₁ sin ω, b₁' = b₁ cos ω - a₁ sin ω, a₂' = a₂ cos ω + b₂ sin ω, b₂' = b₂ cos ω - a₂ sin ω.
Чтобы не утомлять читателя, приводим окончательный результат вывода формул параметров уравнения изогиры в нестандартной позиции:
a = 2b₁ sin ω, b = 2b₁ cos ω, c = sin 2ω (a₁² + b₁²), d = b₁² - a₁².
После подстановки параметров a, b, c и d в (1) будет получено уравнение третьей степени для сечений, перпендикулярных к плоскостям ⊥N_m(ОБ), N_m(ТБ). Оно может быть преобразовано в кубическое уравнение, для которого имеется решение по формуле Кардано. Это решение, необходимое для расчета гномонических координат оптических осей, сравнительно сложное и его следует производить с помощью компьютера по специальной программе (файл coorisog.exe), для которой имеется руководство.
Определение угла оптических осей в рассматриваемом сечении возможно по методу "засечек" с использованием компьютера. Кроме того, для этой цели можно использовать графики 2V-ω₁-ω_x (см. статью "Диаграммы для определения в коноскопе угла оптических осей …").

3.2.3. Особый случай: сечения, перпендикулярные к оптической оси двуосного кристалла.

В таком сечении оптическая ось A₁ находится в центре поля зрения, вторая оптическая ось A₂ расположена на оси Y (рис. 3ж). Все координаты оптических осей имеют нулевое значений, за исключением ординаты b₂ оптической оси A₂.
Параметры уравнения изогиры равны: a = 0, b = b₂, с = 0, d = 0.
После подстановки параметров в (1) получено следующее уравнение изогиры в рассматриваемом сечении: b₂ x³ - b₂ y² - 4xy +2b₂ x = 0, которое после выноса x за скобки выглядит как произведение двух множителей: x(b₂ x² - b₂ y² - 4y + 2b₂) = 0. Приравниваем каждый множитель к нулю.
Первый множитель x = 0 является уравнением оси Y.
Второй множитель, являющийся уравнением гиперболы, после преобразования имеет следующий вид:

(14)

Корни этого квадратного уравнения

(15)

могут быть использованы для расчета координат точек изогиры.
При повороте столика на угол ω координаты оптической оси A₁ сохранят нулевое значение, а новые координаты оптической оси A₂ и параметры уравнения изогиры будут равны (рис. 3з):
a₂' = b₂ sin ω, b₂' = b₂ cos ω, a = b₂ sin ω, b = b₂ cos ω, c = 0, d = 0.

Рис. 4. Диаграмма Райта для определения 2V в сечениях, перпендикулярных к оптической оси (ортогональная проекция).

После подстановки в (1) параметров c и d получено следующее уравнение изогиры для нестандартной позиции в сечении, перпендикулярном оптической оси: b₂'x³ + a₂' y³ - a₂' x²y - b₂' xy² - 4xy + 2b₂' x + 2a₂' y = 0. (16) Решение этого уравнения третьей степени производится с использованием формулы Кардано. Ввиду громоздкости вычислений вручную для определения гномонических координат точек изогиры следует использовать компьютерную программу (файл coorisog.exe), для которой имеется руководство.
По указанной программе произведен расчет данных для построения диаграммы Райта, предназначенной для приблизительной оценки величины 2V по кривизне изогиры в сечении, перпендикулярном к оптической оси (рис. 4). Построенная по этим расчетам диаграмма полностью совпала с диаграммой Райта.
Для определения угла оптических осей по углу поворота столика ω, при котором изогира совмещается с меткой M₁ в уравнении (16) заменим a₂' и b₂' их значениями (см. выше). После этого уравнение изогиры примет следующий вид:
b₂ cosω x³ + b₂ sinω y³ - b₂ sinω x²y - b₂ cosω xy² - 4xy + 2b₂ cosω x + 2b₂ sinω y = 0. (17) Метка M₁ имеет следующие гномонические координаты:
x = y = R sin 45° = R √2 / 2,
где R = tg ρ_k - радиус поля зрения на гномонической проекции, равный тангенсу углового радиуса поля зрения.
После подстановки значений x и y в уравнение (17) получена следующая простая формула расчета угла оптических осей 2V:

(18)

При выводе формулы учтено, что b₂ = tg2V.
К сожалению, погрешности расчета 2V по этой формуле находятся в сильной зависимости от местоположения оптической оси A₁. Если она отклоняется от центра поля зрения хотя бы на несколько градусов, ошибка определения 2V становится недопустимо большой. Ее можно использовать только в сечениях, строго перпендикулярных к оптической оси.

4. Вопросы терминологии.

Первая попытка вывести уравнение изогиры была предпринята в конце XIX века А. Мишель-Леви. Он пришел к выводу, что изогира математически соответствует гиперболе. Позже Ф. Райт отметил ошибки в построениях А. Мишель-Леви, которые заключались в неправильной трактовке закона Френеля при определении направления световых колебаний. Однако это замечание Ф. Райта осталось незамеченным и до последнего времени термин "гипербола" считался синонимом "изогиры".
Теперь, когда мы располагаем уравнениями изогиры, можно дать точное математическое определение ее фигур.
В коноскопе мы наблюдаем два типа фигур, образуемых изогирой: кресты и криволинейные ветви, образующиеся при распаде креста.
Прямой крест образован двумя прямыми балками, пересекающимися под прямым углом. Балки креста совпадают с нитями окулярного креста (рис. 2а, 3а). Характерен только для центрированных сечений. При вращении столика прямой крест распадается на две криволинейных ветви (исключение - нераспадающийся крест одноосных кристаллов).
Комбинированный прямой крест состоит из пересекающихся под прямым углом прямолинейной и криволинейной балок (рис. 2б,в,д, 3в,д,ж). Образуется только в симметричных сечениях в позиции погасания кристалла (в т. ч. в стандартной позиции).
Косой крест состоит из двух криволинейных балок, пересекающихся под острым углом. Он характерен для одноосных кристаллов в нестандартной позиции (рис. 2г), а также косых сечений двуосных кристаллов. Из-за недостаточного углового охвата объектива и слабой искривленности такие они часто ошибочно рассматриваются как прямые кресты.
Гипербола. При вращении столика прямой крест распадается на две криволинейные ветви, уравнение которых соответствует равносторонней гиперболе (рис. 2б). Гипербола свойственна только центрированным сечениям.
Кубическая гипербола. Образуется при распаде комбинированного креста в симметричных сечениях двуосных кристаллов (рис. 3г,з). Косой крест одноосных кристаллов в нестандартной позиции образован двумя пересекающимися кубическими гиперболами (рис. 2г).
Термин "кубическая гипербола" используется нами на основании ее тесной связи с обычной гиперболой. В обычной гиперболе оптические оси, являющиеся фокусами, расположены симметрично относительно центра координат. В кубической гиперболе эта симметрия нарушена, в результате чего уравнение усложняется и его степень повышается на единицу.
Сводные данные о форме изогиры в центрированных и симметричных сечениях приведены ниже в таблице.

Приведенное выше описание формы "нулевых" изогир относится к гномонической проекции. Реально наблюдаемая коноскопическая картина адекватно отображается на ортогональной проекции. Поэтому при строгом математическом подходе использование перечисленных выше терминов нужно считать неправомерным. Нужно учесть также, что гипербола представляет собой бесконечную фигуру, "разместить" которую на ортогональной проекции, имеющие конечные размеры, невозможно.

Рис. 5. Экваториальная градусная сетка на ортогональной (а) и гномонической (б) проекциях. Меридианы и параллели проведены через 10°. Угловой радиус гномонической проекции ограничен окружностью с угловым радиусом ρ = 70°.

Чтобы разобраться в явлениях, происходящих при переносе геометрических фигур с гномонической на ортогональную проекцию, обратимся к рис. 5, на котором изображена градусная сетка на обеих проекциях. Меридианы на гномонической проекции имеют вид бесконечных прямых вертикальных линий, а параллели отображаются в виде в разной степени изогнутыми кривыми линиями, являющимися гиперболами (рис. 1б). При переходе на ортогональную проекцию (рис. 1а) меридианы "скручиваются" в полуэллипсы. Можно говорить, что они подвергаются "эллипсизации". Поэтому следовало бы назвать наблюдаемые в коноскопе изогиры как "эллипсизированные гиперболы" и "эллипсизированные кубические гиперболы". Но есть другой более простой и удобный вариант - использовать термин "парагипербола". Префикс "пара" (греч. - возле, подле) используется для указания сходства различающихся объектов, например, известный геологам термин парагеосинклиналь - геологическая структура, похожая на геосинклиналь, но отличающаяся от нее, или известные всем параолимпийские игры.
Таким образом, рекомендуется при описании изогир использовать термины "парагипербола" для центрированных сечений и "кубическая парагипербола" для симметричных сечений.

5. Заключение.

Из общего сложного уравнения изогиры выведены более простые уравнения нулевой изогиры для центрированных и симметричных сечений оптической индикатрисы. Их анализ позволил выделить основные виды фигур, образуемых изогирой. Для центрированных сечений характерен прямой крест, при вращении столика распадающийся на две симметричные ветви, математически соответствующие равносторонней гиперболе. Для симметричных сечений свойственны комбинированные прямые кресты, образованные прямолинейными и криволинейными балками. При вращении столика они разделяются на две ветви, относящиеся к кубической гиперболе.
Все перечисленные фигуры выявлены на гномонической проекции. При переходе на ортогональную проекцию, соответствующей реально наблюдаемой коноскопической картине, они преобразуются в другие фигуры, которые названы как "парагиперболы" и "кубические парагиперболы".
Практическое значение уравнений заключается в возможности вывода из них формул для расчета координат точек изогиры, необходимых для графического воспроизведения изогиры, а также для расчета угла оптических осей.

Статья загружена на сайт 12 января 2014 г.

К началу страницы

На главную страницу