S O V E T Y. C O N O S C O P E. R U
C О В Е Т Ы. К О Н О С К О П. Р У
Сайт Компанейцева
Вячеслава Петровича
© Компанейцев В. П.
THE EQUATION OF ISOGYRE FOR X- AND Y-AXES
Уравнение изогиры, описывающее связь между координатами точек изогиры и оптических осей, имеет следующий вид:
bx3 + ay3 - ax2y - bxy2 - cx2 - cy2 + 2(d - 2)xy + 2bx + 2ay - 2c = 0, (1)
где x, y - координаты точек изогиры на гномонической проекции,
a = a1 + a2 - сумма абсцисс оптических осей A1 и A2,
b = b1 + b2 - сумма ординат оптических осей A1 и A2,
c = a1b2 + a2b1 - сумма смешанных (перекрестных) произведений абсцисс и ординат оптических осей,
d = a1a2 + b1b2 - сумма парных произведений абсцисс и ординат оптических осей.
Чтобы вывести уравнение изогиры для оси X, подставим y = 0 в общее уравнение изогиры (1). Получим следующее уравнение:
bx3 - cx2 + 2bx - 2c = 0.
Сокращаем это уравнение на x2 + 2, используя правило деления многочлена на двучлен 2-й степени:
(bx3 - cx2 + 2bx - 2c) / (x2 + 2) = bx - c = 0.
Заменяем b и с их значениями и получим уравнение изогиры для координатной оси X:
(b1 + b2) x - a1b2 - a2b1 = 0. (2)
Аналогичным способом найдено уравнение изогиры для координатной оси Y:
(a1 + a2) y - a1b2 - a2b1 = 0. (3)
Из уравнений (2) и (3) получены формулы для расчета координат точек пересечения изогирой координатных осей:
(4)
(5)Все приведенные выше уравнения и формулы действительны как для стандартной, так и для нестандартной позиции оптических осей. Напомню, что за стандартную позицию принимается одна из 4-х позиций погасаний кристалла, наблюдаемых при полном повороте столика на 360°, в которой ближняя оптическая ось A1 находится в 1-м квадранте, а дальняя оптическая ось A2 во 2-м (рис. а), либо в 4-м квадранте.
Рис. Смещение изогиры по осям координат при вращении столика микроскопа. а - стандартная позиция; б - позиция после поворота столика на угол ω = 40°. Гномоническая проекция. Окружность показывает край поля зрения для углового радиуса ρK = 30°. A1, A2 - оптические оси; A1', A2' - проекции оптических осей на координатные оси; ρ1, λ1, ρ2, λ2 - полярные углы и долготы оптических осей; a1, b1, a2, b2 - гномонические координаты оптических осей в стандартной позиции; a1', b1', a2', b2' - гномонические координаты оптических осей после поворота столика на угол ω = 40°; Px, Py - точки пересечения изогиры с координатными осями.
Понятие "стандартной позиции" введено для организации единой системы отсчета углов поворота столика микроскопа. Это своего рода репер, от которого начинается отсчет углов поворота столика.
В стандартной позиции оптических осей кристалл в проходящем свете при скрещенных николях погашен, а изогира проходит через центр поля зрения O. Направления OA1 и OA2 являются главными сечениями оптической индикатрисы. Согласно правилу Френеля световые колебания в кристалле совершаются в плоскости биссектрисы двугранного угла, образованного главными сечениями. Следовательно, темнота в центре поля зрения будет наблюдаться при условии совпадения биссектрисы угла A1OA2 с осью Y, параллельной световым колебаниям в одном из николей.
В стандартной позиции параметр с уравнения изогиры (1) имеет нулевое значение:
с = a1b2 + a2b1 = 0.
Это можно подтвердить, если учесть, что в подобных прямоугольных треугольниках A1OX и A2OX углы A1OX и A2OX равны и, следовательно, отношение противолежащих катетов к прилежащим в обоих треугольниках будет равным:
откуда находим
a1b2 + a2b1 = 0.
После поворота столика на угол ω новые координаты оптических осей рассчитываются по известным из аналитической геометрии формулам поворота осей координат:
a1' = a1 cos ω + b1 sin ω
b1' = b1 cos ω - a1 sin ω
a2' = a2 cos ω + b2 sin ω
b2' = b2 cos ω - a2 sin ω,
где a1', b1', a2', b2' - новые координаты оптических осей;
a1, b1, a2, b2 - координаты оптических осей в стандартной позиции.
Подставляем эти значения в (4) и (5) и после преобразований получим следующие уравнения изогиры, учитывающие угол поворота столика:
[cos ω (b1 + b2) - sin ω (a1 + a2)] x - sin 2ω (b1b2 - a1a2) = 0; (6)
[cos ω (a1 + a2) + sin ω (b1 + b2)] x - sin 2ω (b1b2 - a1a2) = 0. (7)
Из этих уравнений находим формулы для расчета координат точек пересечения изогирой координатных осей:
(8)
(9)Пример расчета координат точек пересечения изогиры с координатными осями.
В стандартной позиции оптические оси имеют следующие координаты:
ρ1 = 35°; λ1 = 60°; ρ2 = 50°; λ2 = 120°. Угол поворота столика ω = 40°.
Нужно рассчитать координаты точек пересечения изогиры с осями X и Y. По формулам пересчета сферических координат в прямоугольные рассчитываем гномонические координаты оптических осей в стандартной позиции:
a1 = tg ρ1 cos λ1 = tg 35° cos 60° = 0,3501;
b1 = tg ρ1 sin λ1 = tg 35° sin 60° = 0,6064;
a2 = tg ρ2 cos λ2 = tg 50° cos 120° = -0,5959;
b2 = tg ρ2 sin λ2 = tg 50° sin 120° = 1,0321.
Рассчитываем координаты точек пересечения после поворота столика на 40°, введя в формулы (8) и (9) значения координат оптических осей в стандартной позиции:
Точкам пересечения соответствуют следующие их полярные углы:
ρx = arctg(0,5815) = 30,2°;
ρy = arctg(0,9502) = 43,5°.
На рис. б видно, что первая точка пересечения Px находится на окружности, ограничивающей поле зрения коноскопа. Она совпадает с меткой Mx и, следовательно, угол ω = 40° может быть использован для ввода в программу определения 2V по методу "засечек". Вторая точка Py пересечения изогиры с осью Y находится вне поля зрения, далеко от центра. Cледует заметить, что пересечение с осями X и Y дают разные ветви изогиры.
Заключение. Уравнения изогиры для координатных осей дают возможность рассчитать положение изогиры на осях X и Y в зависимости от угла поворота столика микроскопа. На них основана программа определения угла оптических осей по методу "засечек". Кроме того, присутствие в уравнениях угла поворота столика ω позволяет исследовать математическими методами поведение изогиры при вращении столика (см. статью "Закономерности движения изогиры …")
Статья загружена на сайт 17 апреля 2012 г.
На главную страницу
Руководство к программе
Руководство к программе
Руководство к Компьютерному определителю…
Руководство к программе …
