© Компанейцев В. П.

  Зная сферические координаты оптических осей, можно рассчитать угол 2V. Для этого используется одна из формул решения сферического треугольника, в которой определяется сторона a треугольника по двум известным сторонам b и c и углу A между ними (рис. 1):
cos a = cos b cos с + sin b sin c cos A.      (1)
Рис. 1. Элементы сферического треугольника.
a, b, c - стороны,
A, B, C - углы сферического треугольника.




 Применительно к рассматриваемой задаче формула (1) имеет следующий вид (рис. 2):
cos 2V = cos ρ₁ cos ρ₂ + sin ρ₁ sin ρ₂ cos(λ₂ - λ₁),     (2)  где ρ₁ и ρ₂ - полярные углы оптических осей A₁ и A₂,
   λ₁ и λ₂ - долготы оптических осей.






Рис. 2. Сферический треугольник OA₁A₂, в котором определяется угол оптических осей 2V (дуга A₁A₂) по полярным углам ρ₁ и ρ₂ и разности долгот λ₁ и λ₂ оптических осей.





  Пример. В коноскопе методом "засечек" определены следующие полярные сферические координаты оптических осей:
ось A₁: ρ₁ = 35° , λ₁ = 60°;
ось A₂: ρ₂ = 70° , λ₂ = 120°.
  Требуется рассчитать угол оптических осей.
По формуле (2) определяем угол оптических осей 2V:
cos2V = cos 35° cos 70° + sin 35° sin 70° cos(120° - 60°) = 0,54996.
2V = 57°.

  Определение кратчайшего расстояния между двумя пунктами с известными географическими координатами.
  Этот раздел может представить интерес для любителей путешествовать. Его содержание не соответствует тематике сайта, но он добавлен в рассматриваемый вопрос с учетом близости задач определения 2V и расстояния между двумя географическими пунктами.
  Правильное определение расстояния между двумя пунктами возможно только на глобусе с помощью гибкой мерной ленты или натянутой нити. На географических картах из-за проекционных искажений измерение расстояния между двумя объектами с помощью линейки сопровождается большими погрешностями.
  В судо- и самолетовождении используется понятие ортодрома - линия, соответствующая кратчайшему расстоянию между двумя пунктами. Она представляет собой дугу, образованную при пересечении с земной поверхностью вертикальной плоскости, проходящей через три точки - два пункта на поверхности Земли и центр земного шара. Ортодромами являются все меридианы. Параллели, за исключением экватора, не являются ортодромами, так как проходящие через них плоскости не пересекают центр земного шара.
  Пример. Определить расстояние между аэропортами Шереметьево (Москва) и Шарль-де-Голль (Париж).
  Географические координаты какого-либо пункта можно получить из Интернета, введя в поисковую строку Яндекса, Google или другого поисковика запрос "географические координаты (пункт)", либо с помощью программы "Google Планета Земля", наведя курсор на выбранный объект. Внизу космического снимка будут высвечиваться точные координаты объекта. При этом нужно учитывать, что западные долготы и южные широты должны использоваться со знаком "минус".
  Географические координаты аэропортов (в скобках после пересчета минут и секунд в градусы)
  Шереметьево: 55°58'22" (55,9727°) с.ш., 37°24'56" (37,4156°) в.д.;
  Шарль-де-Голль: 49°00'35" (49,0097°) с.ш., 2°32'56" (2,5486°) в.д.
  Переводим широты в полярные углы:
  Шереметьево ρ₁ = 90° - 55,9727° = 34,0273°;
  Шарль-де-Голль ρ₂ = 90° - 49,0097° = 40,9903°.
  По формуле (2) рассчитываем угловое расстояние A₁A₂ между аэропортами (рис. 2):
  cosA₁A₂ = cos 34,0273° cos 40,9903° + sin 34,0273° sin 40,9903° cos (2,5486° - 37,4156°) = 0.9335. Дуга A₁A₂ = 21,0107°.
  Учитывая, что каждому градусу ортодромы соответствует расстояние, равное 111,1 км, находим расстояние S между аэропортами:
S = 111,1 км · 21,0107° = 2334 км.
  Скрыть текст

  Такой пересчет может потребоваться для контроля результатов определения угла оптических осей и ориентировки оптической индикатрисы по методу "засечек".
  Результаты измерений на федоровском столике - отсчеты по осям I и H - являются экваториальными сферическими координатами оптических осей, которые по известным формулам пересчитываются в полярные сферические координаты.
  Порядок пересчета покажем на конкретном примере.
  Пусть в результате определения 2V сняты следующие отсчеты на федоровском столике:
  I₁ = 5°, I₂ = 315°, H = право 10°. 2V = 5° + (360° - 315°) = 50°.
  Отсчеты I₁, I₂ и H являются экваториальными сферическими координатами оптических осей:
  φ_E1 = -5° ("южная широта");
  φ_E2 = 360° -315° = 45° ("северная широта");
  λ₁ = λ₂ = 10° ("восточная долгота").
  По формулам пересчета (см. таблицу в статье "Формулы для пересчета сферических и прямоугольных координат") находим полярные координаты оптических осей:
  cos ρ_P1 = cos φ_E1 cos λ_E1 = cos(-5°) cos 10° = 0,9811; ρ_P1 = 11,2°.
  cos ρ_P2 = cos φ_E2 cos λ_E2 = cos(-5°) cos 10° = 0,6994; ρ_P2 = 45,9°.
  tg λ_P1 = tg φ_E1/sin λ_E1 = tg(-5°)/sin 10° = -0,5038; λ_P1 = -26,7°.
  tg λ_P2 = tg φ_E2/sin λ_E2 = tg 45°/sin 10° = 5,7588; λ_P2 = 80,1°.
  Переводим оптические оси в стандартную позицию. Для этой цели находим биссектрису угла между главными сечениями:
  B = (λ₁ + λ₂)/2 = (-26,7° + 80,1)/2 = 26,7°.
  Биссектрису необходимо совместить с осью X или Y так, чтобы ближняя оптическая ось A₁ оказалась в 1 квадранте. В данном примере совместим биссектрису с осью Y. Для этого потребуется поворот на угол 90° - 26,7° = 63,3°. Новые долготы оптических осей в стандартной позиции будут равны:
λ_P1 = -26,7° + 63,3° = 36,6°;
λ_P2 = 80.1° + 63,3° = 143,4°.
  Полярные углы оптических осей останутся прежними:
ρ_P1 = 11,2°; ρ_P2 = 45,9°.
   По этим координатам можно проверить достоверность определения 2V по методу "засечек".
  Проверить правильность расчета сферических координат в стандартной позиции можно расчетом угла 2V по формуле (2) (см. первый вопрос):
  cos 2V = cos 11,2° cos 45,9° + sin 11,2° sin 45,9° cos(143,4° - 36,6°) = 0,6423; 2V = 50°.
  Полученное значение угла 2V совпало с результатами его определения на федоровском столике, что указывает на отсутствие ошибок при пересчете координат оптических осей.
  Скрыть текст

  Формула Малляра имеет следующий вид:
  sin E = KD,
   где E - половина видимого угла оптических осей,
    D - половина расстояния между вершинами ветвей изогиры при их максимально расхождении (в делениях окуляр-микрометра),
    K - константа Малляра.
  Формула Малляра не требует доказательства. Она связана с техническими характеристиками объективов, намеренно изготовленных с оптическим дефектом - бочкообразной дисторсией, при которой масштаб меняется по полю изображения. Из-за дисторсии изображение квадрата приобретает вид бочки (рис. 1а,б).


Рис. 1. Квадратная сетка (а) и ее искажения при бочкообразной (б) и подушечной (в) дисторсии.





  Чтобы понять формулу Малляра, обратимся к рис. 2, построенному по результатам расчетов, приведенных в таблице. На рисунке показано, как лучи света A_0-4, идущие от рассматриваемого предмета, проходя через объектив, формируют увеличенное обратное изображение в задней фокальной плоскости. Входящие лучи света A_0-4O образуют углы α_1-4 с оптической осью A₀A'₀. Длины отрезков A₀A₁, A₀A₂, A₀A₃, A₀A₄, пропорциональны
Таблица.    Расчет данных для построения рисунка 3.

Точки на предмете	α,°	tg α	Точки на изображении	sin α	α' = arc tg(sin α)
A0	0	0	A'0	0	0
A1	15	0,2679	A'1	0,2588	14,5
A2	30	0,5774	A'2	0,5	26,6
A3	45	1	A'3	0,7071	35,3
A4	60	1,7321	A'4	0,866	40,9

тангенсу углов соответственно α₁, α₂, α₃, α₄. Если бы объектив был без дисторсии, лучи света, проходя через него, сохранили бы свое направление и образовали бы в задней фокальной плоскости неискаженное изображение. Однако из-за дисторсии проходящие через объектив лучи отклоняются, образуя меньшие углы с оптической осью α'_1-4, чем соответствующие им углы α_1-4. В результате мы имеем искаженное изображение, в котором отрезки A'₀A'₁, A'₀A'₂, A'₀A'₃, A'₀A'₄ пропорциональны не тангенсу, как для входящих лучей, а синусу углов соответственно α₁, α₂, α₃, α₄.


Рис. 2. Схема прохождения лучей света через объектив микроскопа.
A₀A₄ - рассматриваемый под микроскопом предмет; L - объектив; A'₀A'₄ - увеличенное обратное изображение предмета в задней фокальной плоскости объектива; A_0-4O - входящие лучи света; α_0-4 - углы, образуемые входящими лучами света с оптической осью A₀A'₀; α_0-4 - углы, образуемые проходящими лучами света α_0-4 - углы, образуемые входящими лучами света с оптической осью A₀A'₀; с оптической осью A₀A'₀;




  Обозначим длину указанных отрезков через D формулы Малляра. В объективе с "правильной" дисторсией должно соблюдаться соотношение
  где α_1-4 - коноскопические углы,
  K - константа Малляра.
  При нарушении этого соотношения, вызванном, например, отклонением кривизны линз, составляющих объектив, от проектируемых значений, константа Малляра может меняться в зависимости от коноскопического угла.
  Определить константу Малляра для малых и больших коноскопических углов можно самостоятельно, используя в качестве эталона одноосный минерал (см. статью "Градуировка коноскопа поляризационного микроскопа").
  Для исправления искажения, даваемого объективом микроскопа, используют окуляры с подушкообразной дисторсией (рис. 1в). При этом точки изображения, смещенные к центру из-за бочкообразной дисторсии, возвращаются на свое место, и восстанавливается неискаженное изображение квадрата (рис. 1а).
  Примечание. Теоретический анализ показывает, что прямые линии квадрата при бочкообразной дисторсии преобразуются во вложенные друг в друга эллипсы, имеющими разные коэффициенты сжатия (рис. 1б). При подушкообразной дисторсии, характерной для окуляров, они превращаются в гиперболы (рис. 1в). В результате наложения двух противоположных процессов - "эллипсизации" и "гиперболизации" - происходит компенсация оптических искажений и изображение приобретает первоначальный вид.
  Скрыть текст

  Величина константы Малляра зависит от положения линзы Бертрана по высоте. При определении константы по эталонному кристаллу с известным 2V линза Бертрана устанавливается фокусировкой, добиваясь наиболее резкого изображения изогиры. Однако из-за недостаточной резкости повторно точно восстановить первоначальное положение оказывается невозможным. Для предупреждения подобной проблемы в будущем следует отметить фломастером положение линзы Бертрана на тубусе микроскопа или положение поворотного фокусировочного кольца (на современных моделях микроскопов). Желательно также записать диаметр поля зрения 2D коноскопа в делениях окуляр-микрометра. Если ничего этого сделано не было, можно по известному значению константы Малляра рассчитать 2D. Привожу пример.
  Пусть константа Малляра равна 0,0459. Объектив 60^x с апертурой 0,85. Апертура определяется как синус коноскопического угла объектива. Исходя из формулы Малляра, можно записать:
D = A/K = 0,85/0,0459 = 18,5 делений окуляр-микрометра.   Диаметр поля зрения коноскопа 2D = 2 х 18,5 = 37 делений.
  Далее нужно, смещая линзу Бертрана по высоте, установить ее на рассчитанном значении диаметра поля зрения.
  Скрыть текст

  В коноскопе мы видим изображение источника света: неба, внешней осветительной лампы при использовании зеркала, матовой колбы осветительной лампочки, если микроскоп снабжен встроенным источником света.
  Направьте объектив на источник света, например, на окно. В задней фокальной плоскости вы увидите сильно уменьшенное круглое обратное изображение источника света (выходной зрачок объектива). Если приблизиться к окну, так чтобы его изображение занимало большую часть выходного зрачка, то с объективами 40^x или 60^x можно заметить, что контуры окна стали криволинейными. Это так называемая бочкообразная дисторсия, присущая объективам микроскопа. (Подробнее о дисторсии см. ответ на вопрос 3).
  При работе с коноскопом линза Бертрана с окуляром составляют микроскоп, с помощью которого просматривается обратное изображение источника света, сформированное объективом. Так как при этом изображение вновь становится обратным, то в конечном итоге мы видим прямое изображение источника света.
  При включенных поляризаторе и анализаторе поляризованные лучи света, проходя через анизотропный кристалл, в результате явлений интерференции формируют коноскопическую картину (изогиру и хроматические кольца), которая накладывается на изображение источника света.
  Скрыть текст

  Уравнение изогиры справедливо для обеих ветвей изогиры. Следовательно, для определения угла совмещения пригодна любая ветвь изогиры.
  Скрыть текст

  Неполное соответствие наблюдаемой в коноскопе изогиры ее компьютерной модели связано с рассеянием лучей света на границе минерал-бальзам в тех участках, где шероховатая поверхность препарата не параллельна плоскости шлифа. Луч света, проходя через наклонную границу, отклоняется от "правильного" направления и оказывается не в той точке, где ему полагается быть, а на некотором удалении от нее.
  Чтобы облегчить понимание последствий явления светорассеяния, упростим коноскопическую картину. Будем считать, что изогиру образуют "темные" лучи с минимальной интенсивностью света, а остальную часть поля зрения коноскопа - "светлые" лучи. "Светлые" лучи обычно преобладают над "темными" лучами. Рассеиваясь по всему поля зрения, они засвечивают изогиру, из-за чего она теряет контраст и становится более светлой, серой.
  Сходным образом ведут себя и "темные" лучи. Но их меньше и они не в состоянии затемнить светлые участки поля зрения. Их рассеяние сказывается на размерах и форме изогиры. Будем считать, что вероятность отклонения рассеянного "темного" луча обратно пропорциональна углу его отклонения. Для каждой точки поля зрения плотность вероятности нахождения отклоненного луча может быть изображена в виде концентрических кругов. Максимальная плотность вероятности будет располагаться в меньшем круге. Такое распределение "темных" лучей приведет к тому, что большая часть их будет располагаться в самой изогире и по ее контуру. В результате произойдет расширение изогиры. Вокруг оптической оси сконцентрируются "темные" лучи, которые замаскируют сужение изогиры.
  Скрыть текст

  Главный "враг" изогиры - это светорассеяние, которое засвечивает коноскопическую картину, делая ее менее четкой, расплывчатой. Светорассеяние возникает в микроскопе, но, главным образом, в шлифе на границе минерал-бальзам.
  В современных микроскопах используется просветленная оптика, сводящая светорассеяние к минимуму. Повышенное светорассеяние в микроскопе может возникнуть лишь по вине пользователя, например, из-за грязной оптики. Нельзя на конденсорную линзу накладывать матовое стекло. Осветительная система должна быть правильно отрегулирована. Конденсор и осветитель должны быть настроены так, чтобы изображение источника света находилось точно в плоскости шлифа.
  Шлифы по стандартной технологии изготавливаются с таким расчетом, чтобы поверхность препарата была слегка неровной, что облегчает диагностику минералов по показателю преломления (по рельефу и шагреневой поверхности), но ухудшает коноскопическую картину. На практике при изготовление шлифов нередко производится с нарушением технологии, без последовательного перехода от грубых к тонким абразивным порошкам. Особенно это касается нижней стороны, когда пластинка горной породы приклеивается к предметному стеклу без должного выравнивания. Верхняя поверхность препарата обычно получается более ровной из-за необходимости осторожной доводки шлифа до требуемой толщины.
  Для исследований минералов в коноскопе следует заказывать специальные шлифы. Процесс их изготовления такой же, как и в стандартной технологии, но обе стороны препарата перед приклеиванием к предметному стеклу и перед покрытием покровным стеклом должны быть отполированы до ровной, блестящей поверхности. Операцию обработки предметного стекла грубым порошком, предназначенную для надежного приклеивания препарата, следует отменить, так как такое стекло дает дополнительное светорассеяние.
  Скрыть текст