S O V E T Y. C O N O S C O P E. R U
C О В Е Т Ы. К О Н О С К О П. Р У
Сайт Компанейцева
Вячеслава Петровича
© Компанейцев В. П.
FORMULAS FOR THE CONVERSION OF SPHERICAL AND RECTANGULAR COORDINATES
В кристаллооптике для анализа явлений, наблюдаемых в сходящемся свете, используется представление о сферической поверхности направлений световых колебаний в кристалле. Как видно из названия этой воображаемой модели, ориентация какого-либо направления, например, оптической оси, должно быть задано в сферических координатах.
В коноскопе мы видим часть плоской проекции сферической поверхности и, следовательно, положение какой-либо точки может быть описано ее прямоугольными координатами.
В связи с использованием различных систем координат возникает необходимость пересчета сферических координат в прямоугольные и обратно. Ниже будут приведены необходимые для этого формулы пересчета.
В компьютерных программах "Определение угла оптических осей и ориентировки оптической индикатрисы" и "Компьютерное воспроизведение изогиры" (см. сайт www.conoscope.ru) используются следующие системы координат:
1) сферические координаты
а) с полярной градусной сеткой,
б) с экваториальной градусной сеткой;
2) прямоугольные координаты
а) в ортогональной проекции,
б) в гномонической проекции.
Сферические координаты. Для описания сферических координат будем применять всем понятные термины из школьной географии: полюс, экватор, параллели, меридианы, восточная и западная долгота, северная и южная широта.
Наглядное представление о полярной градусной сетке можно получить, если посмотреть на глобус со стороны северного полюса. В центре проекции окажется полюс (рис. 1, а).
Рис.1. Полярная (а) и экваториальная (б) градусные сетки.
Концентрические окружности - это параллели, положение которых определяется полярным углом ρ - угловым расстоянием параллели от полюса или широтой φ - угловым расстоянием от параллели до экватора (крайняя окружность с максимальным радиусом). Ясно, что сумма ρ + φ для любой точки сферы равна 90°.
Радиусы, расходящиеся из центра сетки (полюса) - это меридианы, долгота которых отсчитанная от нулевого меридиана, считается положительной в направлении против часовой стрелки (от 0 до 180°) и отрицательной при отсчете в противоположном направлении (от 0 до -180°).
Преимущество использования сферических координат с центральным расположением полюса является простота расчета изменения координат оптических осей при вращении столика. При повороте столика на угол ω полярный угол ρ остается постоянным, а долгота увеличивается или уменьшается на угол ω. Недостаток полярной градусной сетки - на ней невозможно провести плоскость, например, плоскость оптических осей при известных координатах оптических осей.
На экваториальной градусной сетке (рис. 1, б) экватор с широтой φ = 0° ориентирован горизонтально и проходит через центр проекции. Нулевой меридиан, соединяющий северный и южный полюсы, также проходит через центр сетки. Долгота восточных меридианов считается положительной (от 0 до 90°), западных меридианов - отрицательной (от 0 до -90°). Параллели северного полушария имеют положительные значения широты φ, южного полушария - отрицательные значения. Так как полярный угол ρ связан с широтой φ выражением ρ = 90° - φ, то его значения в южном полушарии могут превышать 90° и достигать 180° на южном полюсе.
Экваториальная градусная сетка используется для нанесения на кальку результатов измерения на федоровском столике. Ее достоинство - простой способ нанесения плоскостей симметрии оптической индикатрисы, спайности и плоскости срастания двойников. Для этого достаточно вывести оптические оси на один меридиан или совместить полюс плоскости с экватором и скопировать меридиан, удаленный от полюса плоскости на 90°.
Прямоугольные координаты. На рис. 2 показано положение одной и той же точки M с полярным углом ρ для гномонической (M1), ортогональной (M2) и стереографической проекции (M3). Удаление проекции точки от центра координат соответственно равно: OM1 = tg ρ, OM2 = sin ρ, OM3 = tg(ρ/2).
Рис.2. Результаты проектирования на плоскость точки M сферы с полярным углом ρ = 60° и долготой λ = 33° (на рисунке точки M нет).
Прямоугольные координаты точек проекции с учетом долготы λ равны:
на гномонической проекции
x1 = tg ρ cos λ,
y1 = tg ρ sin λ;
на ортогональной проекции
x2 = sin ρ cos λ,
y2 = sin ρ sin λ.
Реально наблюдаемая в коноскопе картина адекватно отображается на ортогональной проекции. Такой вывод можно сделать, если обратить внимание на присутствие синуса в формуле Малляра и в формулах расчета координат на ортогональной проекции.
На гномонической проекции сферы положение проектируемых точек искажено, особенно при больших полярных углах, что связано с быстрым нарастанием tg ρ при увеличении полярного угла. При ρ = 90° проекция точки уходит в бесконечность, т. е. гномоническая проекция сферы не имеет внешней границы. Но гномоническая проекция имеет одно очень важное достоинство - для него выведено уравнение изогиры, по которому возможен расчет координат точек изогиры по координатам оптических осей и решение обратной задачи - расчет координат оптических осей и угла 2V по координатам точек изогиры.
Формулы для пересчета координат из одной из перечисленных систем в другую приведены в таблице 1. В ней указаны исходная система координат с известными значениями координат какой-либо точки и целевая система, в которую нужно пересчитать исходные координаты.
Таблица 1
В таблице приняты следующие буквенные обозначения:
сферические координаты:
ρ - полярный угол,
φ - широта,
λ - долгота;
нижние индексы при координатах:
P - полярная система сферических координат,
E - экваториальная система сферических координат;
прямоугольные координаты:
x, y - абсцисса и ордината на ортогональной проекции,
X, Y - абсцисса и ордината на гномонической проекции.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! В таблице 1 к формулам пересчета сферических координат при переходе с экваториальной на полярную сетку добавлены поправки к результатам расчетов для точек с отрицательной долготой λE. 12 мая 2016 г.
Для ускорения расчетов прилагается программа coordint.exe. Ее следует скачать на любой носитель и запустить двойным щелчком левой кнопки мыши. Затем нужно указать номера исходной и целевой программ, ввести исходные координаты, каждый раз нажимая Enter.
Пример пересчета координат. На странице 10 "Руководства пользователя" по методу "засечек" рассчитаны значения сферических полярных координат оптических осей, плоскости оптических осей и острой и тупой биссектрис (см. 2-й и 3-й столбцы таблицы 2). Их нанесение с помощью экваториальной стереографической сетки хотя и возможно, как это показано в "Руководстве", но связано с многочисленными поворотам кальки, что снижает точность построений.
Таблица 2
| Оптическая ось A1 | |
|
|
|
|
|
|
|
| Оптическая ось A2 | |
|
|
|
|
|
|
|
| Плоскость опт. осей P | |
|
|
|
|
|
|
|
| Острая биссектриса B1 | |
|
|
|
|
|
|
|
| Тупая биссектриса B2 | |
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому следует пересчитать полярные координаты в экваториальные (4-й и 5-й столбцы таблицы) и по их значениям, наложив кальку на стереографическую экваториальную сетку, нанести результаты расчетов не меняя положение кальки, что повышает точность построений.
Чтобы убедиться в отсутствии погрешностй в расчетах, повернем кальку так, чтобы точка P оказалась на экваторе (см. рис. 6, в на стр. 11 "Руководства"). Все 5 точек плоскости оптических осей должны оказаться на одном меридиане. Это графический способ контроля. Проверку можно провести и аналитическим способом. Для этого из всех долгот точек (2-й столбец) отнимем долготу точки P, равную 60,1°. Долгота этой точки окажется равной 0°, т. е. она окажется на нулевой меридиане. Новые полярные координаты точек (6-й и 7-й столбцы) пересчитаны в экваториальные сферические координаты (два последних столбца). Долгота всех пяти точек оказалась одной и той же (44,3°}, что подтверждает правильность расчетов.
Пересчет координат может быть полезным при сравнении результатов определения 2V, ориентировки оптических осей и элементов симметрии оптической индикатрисы, определенных по методу засечек (полярные координаты) и на федоровском столике (экваториальные координаты).
Основное назначение формул пересчета координат - разработка компьютерных программ для решения разных коноскопических задач. В качестве примера многоступенчатого пересчета координат укажем на программу "Компьютерное воспроизведение изогиры". В ней исходные данные - сферические координаты оптических осей пересчитываются в прямоугольные гномонические координаты, используемые для решения уравнения изогиры. Затем гномонические координаты точек изогиры пересчитывются в прямоугольные ортогональные координаты и выносятся на экран монитора.
Статья загружена на сайт 6 апреля 2012 г.
На главную страницу
Руководство к программе
Руководство к программе
Руководство к Компьютерному определителю…
Руководство к программе …
